
\prob{0039}{指数与不等式}

对于正整数$k > 1$，证明：

\[ 3k < 10^{k - 1} \]
\problabels{yellow/数论, green/证明题}

\subsection{数学归纳法}

基本思路：运用数学归纳法证明命题。

当$k = 2$时，$3k = 6$，$10^{k - 1} = 10$，命题成立。

若对于某正整数$n > 2$，当$k = n - 1$时，满足$3k < 10^{k - 1}$，那么我们要证明当$k = n$时，$3k < 10^{k - 1}$，即可证明命题。

由假设“当$k = n - 1$时，满足$3k < 10^{k - 1}$”知

\begin{align*}
  3(n - 1) &< 10^{n - 2} \\
  10\cdot3(n - 1) &< 10\cdot10^{n - 2} \\
  30(n - 1) &< 10^{n - 1} \\
\end{align*}

又由$n > 2$，可知

\begin{align*}
  n &> 2 \\
  27n &> 54 \\
  30n - 3n &> 54 \\
  -3n &> 54 - 30n \\
  3n &< 30n - 54 \\
  3n &< 30(n - 1) - 24 \\
  3n &< 30(n - 1) \\
\end{align*}

因此，$3n < 10^{n - 1}$。因此，若当$k = n - 1$时，满足$3k < 10^{k - 1}$，则当$k = n$时，满足$3k < 10^{k - 1}$。命题得证。

证毕。
